Sans toi je ne suis rien.

Publié le par ced

« Qu'est-ce que j'ai à faire dans le monde ? Les autres s'évertuent pour la richesse, la célébrité, le pouvoir ! Moi, je n'ai pas d'état, vous êtes mon occupation exclusive, toute ma fortune, le but, le centre de mon existence, de mes pensées. Je ne peux pas plus vivre sans vous que sans l'air du ciel ! Est-ce que vous ne sentez pas l'aspiration de mon âme monter vers la vôtre, et qu'elles doivent se confondre, et que j'en meurs ? »
Gustave Flaubert, L'éducation sentimentale, deuxième partie, chapitre VI

Il est bien connu que le coeur a ses raisons que la raison ignore, il est bien connu que l'amour est cet éternel irrationnel, sanctuaire inviolable protégé d'un mur si épais que la raison, la logique et la science ne parviendront jamais à en fouler le sol sacré. Le propos que voici et d'y faire une petite ballade mathématique et d'y semer formules, démonstration et théorème.

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Définitions et notations
 : On note 0 l'ensemble vide. Si
A et B sont des ensembles, A&B et AuB représente respectivement l’intersection et la réunion des ensembles A et B, la relation A est contenu dans B est notée A c B . L’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B est noté A-B . Enfin, la relation d’incompatibilité des propositions P et Q est notée (P|Q) et pour alléger cette notation, on écrit  P|.Q|R au lieu de (P|(Q|R)) .

 

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Première formule

Soient TOI, TOUT et MOI trois ensembles quelconques, éventuellement vides et tels que l’ensemble MOI soit contenu dans l’ensemble TOUT (c'est à dire MOI c TOUT) alors :

MOI&(TOUT-TOI) = 0|. MOI&TOI = 0|(MOI = 0|MOI = 0) |. MOI&TOI = 0|(MOI = 0|MOI = 0)


Une vulgarisation de ce résultat pourrait être : « Sans toi je ne suis rien est incompatible avec notre disjonction et mon existence. »

 

 

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Preuve :

 

Commençons par étudier quelques cas particuliers:

-Si
MOI  = 0 , alors MOI est disjoint avec tout ensemble et donc avec TOUT-TOI quels que soient TOI et TOUT , d’où :

Pour tout (TOI, TOUT) , MOI&(TOUT-TOI) = 0


-Si
TOUT c TOI  c'est à dire TOUT-TOI = 0 alors TOUT-TOI est disjoint avec tout ensemble, en particulier avec MOI

Pour tout MOI, MOI&(TOUT-TOI) = 0

 

Supposons les ensembles MOI et TOUT-TOI disjoints c'est à dire MOI&(TOUT-TOI)  = 0

On vient de montrer que cela est toujours vrai si MOI  = 0 ou  TOUT c TOI . Regardons ce que cela entraîne dans le cas contraire.

Si MOI  n’est pas vide, alors il existe au moins un élément appartenant à MOI et comme MOI est supposé disjoint avec TOUT-TOI , ce ou ces éléments n’appartiennent pas à TOUT-TOI c'est à dire ils n’appartiennent pas à TOUT  ou ils appartiennent à TOI.
Or
MOI c TOUT donc tout élément appartenant à MOI appartient à TOUT. La première partie de la disjonction précédente est donc impossible. Donc tout élément appartenant à MOI appartient à TOI, ce qui est encore vrai si MOI est vide , d’où :

 

Pour tout (TOI, TOUT, MOI) , MOI c TOUT, MOI&(TOUT-TOI)  = 0    =>   MOI c TOI



Si TOUT-TOI  n’est pas vide, alors il existe au moins un élément appartenant à TOUT-TOI  c'est à dire il existe au moins un élément qui appartient à TOUT  et qui n’appartient pas à TOI et comme MOI est supposé disjoint avec TOUT-TOI , ce ou ces éléments n’appartiennent pas à MOI donc ils appartiennent à TOUT-(TOIuMOI). D’où, TOUT-TOI c TOUT-(TOIuMOI) c'est à dire TOUT-TOI c (TOUT-TOI)&(TOUT-MOI) id est TOUT-TOI c TOUT-MOI  ce qui est encore vrai si TOUT-TOI  = 0 , d’où :

 

Pour tout (TOI, TOUT, MOI) , MOI&(TOUT-TOI)  = 0   =>   TOUT-TOI  c TOUT-MOI

 

En considérant en plus que MOI c TOUT, on retrouve bien le résultat précédent :

 

Pour tout (TOI, TOUT, MOI) , MOI c TOUT, MOI&(TOUT-TOI)  = 0    =>   MOI c TOI (1)

 

Or si MOI est inclus dans TOI, tout ce qui appartient à MOI appartient à MOI et à TOI et réciproquement :

 

MOI c TOI   =>   MOI = MOI&TOI (2)

 

Et si les ensembles MOI et MOI&TOI sont confondus, alors si l’un est vide, l’autre est vide aussi :

 

MOI = MOI&TOI   =>   (MOI&TOI = 0   =>   MOI = 0) (3)

 

On peut noter que l’implication du résultat (2) et la deuxième implication du résultat (3) peuvent être remplacées par des équivalences puisque leurs réciproques respectives sont encore vraies mais cela est trop trivial pour que l’on s’y attarde plus longtemps.
Vu les résultats (1), (2) et (3) et par transitivité de la relation d'implication, on peut conclure :


Pour tout (
TOI, TOUT, MOI) , MOI c TOUT, MOI&(TOUT-TOI)  = 0   =>   (MOI&TOI = 0   =>   MOI = 0)

 

Ce qui s’exprime aussi en utilisant la négation et la disjonction comme connexions logiques :

 

Pour tout (TOI, TOUT, MOI) , MOI c TOUT, non(MOI&(TOUT-TOI)  = 0) ou (non(MOI&TOI = 0) ou MOI = 0)

 

Et en réduisant les connexions logiques aux seules incompatibilités :

 

Pour tout (TOI, TOUT, MOI) , MOI c TOUT,

(MOI&(TOUT-TOI)  = 0|((MOI&TOI = 0|(MOI = 0|MOI=0))|(MOI&TOI =0|(MOI=0|MOI=0))))

Quod est demonstratum.
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Deuxième formule

Toutes ces considérations peuvent paraître bien inutiles tant le résultat démontré, que l'on a vulgarisé ainsi « sans toi je ne suis rien est incompatible avec notre disjonction et mon existence » semble être une totologie. Pourtant, pour le démontrer, il a fallu supposer la condition nécessaire que l’ensemble MOI soit contenu dans l’ensemble TOUT (c'est à dire MOI c TOUT.) Autrement dit, sans toi je ne suis rien n'est pas (en général) incompatible avec notre disjonction et mon existence à la condition que celle-ci se situe en dehors de tout:

Soient TOI, TOUT et MOI trois ensembles quelconques, éventuellement vides alors :

MOI c TOUT|. MOI&(TOUT-TOI) = 0|. MOI&TOI = 0|(MOI = 0|MOI = 0) |. MOI&TOI = 0|(MOI = 0|MOI = 0)|. MOI&(TOUT-TOI) = 0|. MOI&TOI = 0|(MOI = 0|MOI = 0) |. MOI&TOI = 0|(MOI =0|MOI = 0)


Cette formule est donc plus générale que la première et sa démonstration en découle directement mais elle présente l'inconvéniant d'être beaucoup moins lisible. C'est pourquoi une formulation sous forme de théorème semble mieux appropriée:

 

Théorème


Si TOI, TOUT et MOI sont trois ensembles quelconques, éventuellement vides

Si MOI c TOUT alors :

MOI&(TOUT-TOI)  = 0|MOI&TOI = 0|(MOI = 0|MOI=0)|MOI&TOI =0|(MOI=0|MOI=0)

 

 Remarque : la condition MOI non contenu dans l’ensemble TOUT ne suffit pas à la possibilité d'un espace non vide pour MOI dans le cas où sans toi je ne suis rien (MOI&(TOUT-TOI)  = 0) et où nous sommes disjoints (MOI&TOI = 0). En effet, il faut encore imposer la condition que MOI-TOUT ne soit pas contenu dans TOI-TOUT.

 

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Conclusion


Cette petite ballade n'aura pas été complètement vaine. Partant d'une formule qui ne semblait être rien d'autre qu'une totologie (sans toi je ne suis rien est incompatible avec notre disjonction et mon existence) que l'on a essayé de traduire dans le langage de la théorie des ensembles et de la logique, nous avons retrouvé une propriété bien connue mais jamais démontrée qui est que l'amour appelle au dépassement du moi au delà de tout. La révolution aussi!


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